Integrales Inmediatas

Historia de las Integrales.-

El 29 de Octubre de 1675 el filosofo y matemático alemán Gottfried Leibniz, escribió por primera vez el símbolo integral "∫" en un manuscrito del cual se conoce que nunca fue publicado.

Debida a la importancia de este personaje para el calculo, en Nueva York, la fecha antes mencionada se comenzó a celebrar el día de la integral en su honor.

Teoria de Leibniz y Newtoniana

Durante viajes diplomáticos en Londres y París, conocería importantes científicos de la época y un prototipo de la calculadora le otorgaría la entrada como miembro de la Royal Society.

Entre los científicos con quien compartía discusiones intelectuales sobre tema de suma en serie y geometría infinitesimal, Isaac Newton se interesó por conocerlo y a través de un intermediario empezó a enviarle cartas. Su relación por correspondencia acabó en una denominada "Guerra de cálculo matemático" cuando Newton acusó de haber robado su trabajo.

Leibniz diseño su propio sistema de símbolos, en el cual destaca el ya antes mencionado signo de integral (∫). Newton publicaría su propio sistema muy diferente, el cual la notación de Leibniz dio por triunfar y es la que se utiliza hoy en día por los matemáticos.

Durante décadas se discutiría por la verdadera autoría de los avances de calculo, mas tarde se demostraría que fueron descubrimientos simultáneos. Sus trabajos se relacionaban, tenían acceso al mismo trabajo e incluso por años llegaron a tener las mismas conclusiones.

Leibniz presentó pruebas en diferentes niveles de conocimiento. Jugó con la partición de variables y descubrió cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden.

Para que se utilizan las integrales?

Primero, las coordenadas se usan todos los días para calcular el área, la longitud y la circunferencia.

Cuál es la utilidad de la integrales inmediatas?

El cálculo, es una rama de las matemáticas que se ocupa de los procesos de integración o de primer orden. Esto es común en la ingeniería y la ciencia. A menudo se usa para calcular el área y el volumen de superficies giratorias y cuerpos giratorios.

Integrales Inmediatas

Las integrales inmediatas son aquellas que se derivan directamente de la definición de su sub espacio, es decir, aquellos que se pueden fijar o tener más en cuenta considerando la función que realmente proporciona.

∫f(x)*f '(x)dx = f(x) + C

Nota importante:

No olvidar escribir siempre la constante de integración C.

REGLAS DE INTEGRACIÓN

∫(du+dv-dw) = ∫du + ∫dv - ∫dw

∫adv = a∫dv

∫dx = x + C

∫vˆn dv = vˆn+1 / n+1

∫dv/v = ln v + C

∫aˆv dv = aˆv / ln a + C

∫eˆv dv = eˆv + C

∫sen v dv= -cos v + C

∫cos v dv = sen v + C

∫secˆ2 v dv = tg v + C

∫cscˆ2 v dv = ctg v + C

∫sec v tg v dv = sec v + C

∫csc v ctg v dv = -csc v + C

∫tg v dc = -ln cos v + C = ln sec v + C

∫ctg v dv = ln sen v + C

∫sec v dv = ln (sec v + tg v) + C

∫csc v dv = ln(csc v - ctg v) + C

∫dv/vˆ2 aˆ2 = 1/a arc tg v/a + C

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Tenemos aqui planteado un ejercicio, del cual lo primero que vamos a hacer es identificar que formula aplicaremos con las reglas de integración que se encuentran en la parte de arriba

(∫adv = a∫dv). Lo primero que podemos fijarnos es que en la formula vamos asociando 7 será igual a "a" y dx será igual a "dv", lo que quiere decir que 7 pasará a estar afuera de la integral.

Dada la nueva integral tendremos que identificar que formula aplicar, ya que aun no resolvemos la integral, simplemente derivamos, así que lo siguiente que se hará es saber de que forma resolver la integral (∫dx)

(∫dx = x + C) Esta será la nueva formula que tendremos que aplicar.

Y de esta forma queda resuelta nuestra integral.

Continuemos con un ejercicio más

Tenemos planteado este ejercicio y podemos deducir que tenemos una constante, y una variable con exponente por lo cual lo siguiente a resolver al igual que el ejercicio anterior es aplicar la siguiente formula para que la constante (6) se encuentre fuera de la integral.

Formula a aplicar: (∫adv = a∫dv)

Ahora podemos fijarnos que tenemos una variable elevado a un exponente a la 4 potencia, por lo cual buscaremos en nuestra reglas de integrales alguna formula para continuar con el siguiente paso.

Formula a aplicar: ∫vˆn dv = vˆn+1 / n+1